Уравнения вингсьюта

[Юра Бейс 220]

Это перевод с английского вывода уравнений вингсьюта из Вингсьют-Студии - может быть интересным для пилотов, интересующихся технической стороной динамики полета. Так как многие по-английски ни бум-бум, я и подумал, что неплохо бы и перевести для народа. А заодно и заготовка будет для русифицированной версии Студии - так что замечания по корявости и очепяткам благодарственно приветствуются. Может быть также полезно для нераскрывшихся еще вингокулибиных и винголомоносовых, для стимуляции скрючившихся за зиму в тугую спираль серых хромосом.

Что такое уравнения вингсьюта?

Уравнения вингсьюта — это дифференциальные уравнения движения, описывающие полет винсьюта в вертикальной плоскости. Простые и красивые, они позволяют с высокой точностью моделировать полет вингсьюта, зная только установившуюся скорость.

Когда мы думаем о моделировании полета вингсьюта, задача кажется неразрешимой. Чтобы вычислить траекторию, нужно точно знать силы, действующие на тело в любой момент времени, для вычисления ускорения. Зная начальную скорость, можно затем численно проинтегрировать ускорение, чтобы получить скорость в любой момент, и далее проинтегрировать скорость, чтобы получить полную траекторию. Но каким образом мы можем знать силы?

Аэродинамические силы, действующие на летящее тело — подъемная сила и сопротивление — пропорциональны плотности воздуха, площади, коэффициентам подъемной силы и сопротивления, соответственно, и квадрату воздушной скорости. Мы не знаем точно площадь и коэффициенты подъемной силы и сопротивления; последние зависят от угла атаки и позиции тела. Похоже, мы не можем вычислить аэродинамические силы, а значит, не можем и моделировать полет.

Но с небольшой помощью чистой магии полета (в английском — игра слов: pure flying magic напоминает о шутливом ответе на вопрос "How does it work?!" (Как это работает?!) - "Pure Fucking Magic!" (Чистая магия, в рот мне ноги!))… можем!

Рассмотрим диаграмму сил, действующих на пилота. Мы имеем 3 силы: вес W=mg, подъемную силу L=½Cl·ρ·S·V², которая перпендикулярна вектору текущей скорости V, и силу лобового сопротивления D=½Cd·ρ·S·V², которая действует в обратном направлении скорости. Здесь Cl и Cd — безразмерные коэффициенты подъемной силы и сопротивления, соответственно, ρ — плотность воздуха, а S — площадь вингсьюта в плане.

Если текущий угол глиссады равен α, то горизонтальные составляющие подъемной силы и сопротивления равны Lsinα и –Dcosα, вертикальные составляющие равны –Lcosα и –Dsinα. Таким образом, мы имеем два ньютоновских уравнения движения:

где ax=dVx/dt, ay=dVy/dt — горизонтальное и вертикальное ускорения, Vx и Vy — горизонтальная и вертикальная составляющие полной скорости

Так как sinα=Vy/V, cosα=Vx/V, уравнения могут быть переписаны в виде

Эти уравнения, кажется, только поддерживают сомнения, что они могут быть решены, так как мы не знаем Cl, Cd и S. Нужны исчерпывающие эксперименты в аэродинамической трубе, чтобы найти Cl и Cd для разных углов атаки.

И здесь на помощь приходит магия. Введем ”волшебные” коэффициенты подъемной силы и сопротивления, определяемые выражениями

Уравнения движения теперь преобразуются в

Но мы все-таки не знаем Kl и Kd… или знаем?

Предположим, что при текущей позиции тела и угле атаки установившиеся горизонтальная и вертикальная скорости пилота равны Vxs и Vys. Так как при установившемся полете ускорение равно нулю по определению, уравнения переписываются как

где Vs — полная установившаяся скорость. Эти два уравнения с двумя неизвестными легко решаются для Kl и Kd:

Заметьте, что отношение этих коэффициентов равно аэродинамическому качеству полета:

Теперь неизвестные аэродинамические параметры (загрузка крыла mg/S и аэродинамические коэффициенты Cl, Cd) ”спрятаны” внутри коэффициентов Kl и Kd, которые могут быть легко вычислены из установившихся горизонтальной и вертикальной скоростей для данного режима полета, позволяя нам решить уравнения движения. Как видите, иногда нужно просто замести проблемы под ковер, и внезапно он превращается в волшебный ковер-самолет. Это магия… чистая магия полета!

Система дифференциальных уравнений, которую мы только что вывели, называется уравнениями вингсьюта:

Они могут быть также записаны в элегантной матричной форме:

Простейший случай — это когда Kl и Kd постоянны в течение всего полета (это означает, что пилот поддерживает постоянное положение тела и угол атаки на протяжении всего полета). Предположим, вы измерили ваши установившиеся скорости для лучшего качества полета L/D на скайдайве, используя GPS в условиях полного штиля, и они равны Vxs=150км/ч, Vys=60км/ч (L/D=2.5). Если вы сделаете бейс-прыжок, поддерживая в точности такое же положение тела и изменяя наклон тела к горизонту таким образом, чтобы угол атаки был таким же на протяжении всего полета, то мы имеем уравнения вингсьюта с постоянными известными коэффициентами Kl и Kd, вычисленными из установившихся скоростей, как показано выше, и они могут быть легко решены численно. Зная всего два числа, измеренные на скайдайве, мы можем вычислить траекторию и скорость в каждый момент бейс-прыжка!

Если угол атаки и позиция тела непостоянны в течение полета, нам нужно знать различные режимы полета (комбинации Vxs и Vys, или, эквивалентно, Kl и Kd) при разных углах атаки. Режимы полета могут быть измерены, выполняя установившийся полет в каждом режиме на скайдайве, или же анализируя данные неустановившегося полета на бейс-прыжке. При интегрировании уравнений вингсьюта, используется режим полета, соответствующий текущему углу атаки, чтобы вычислить состояние полета в следующий момент времени, и так далее.

Насколько практично предположение о постоянном режиме полета на бейс-прыжке? В первые 2-3 секунды, пока вы только переходите от экзита в полет, аэродинамические силы достаточно малы, так что существенное изменение угла атаки и соответственно, коэффициентов подъемной силы и сопротивления, не имеет практически никакого эффекта на общий полет. Лучшие полеты чувствуются плавными и эффективными от экзита до открытия — вы быстро и плавно переходите в пикирование с малым углом атаки, ”замораживаете” ваше тело и плавно изменяете наклон тела к горизонту по мере полета, так чтобы поддерживать угол атаки близко к вашему наиболее эффективному режиму полета. В этом случае, предположение постоянного режима полета достаточно практичное. Если вы сравните траектории, вычисленные с использованием уравнений вингсьюта, с вашими GPS данными, вы увидите поразительно хорошее согласие между теорией и практикой — по крайней мере, для полетов, которые ощущаются плавными и эффективными.

Уравнения вингсьюта были так названы, потому что они были впервые выведены при исследовании именно динамики полета вингсьюта. Несмотря на то, что они в равной мере применимы к любому виду бездвигательного двухмерного парящего полета, их практическая ценность для полетов в вингсьюте (особенно для вингсьют-бейса) делает их особенно интересными именно для вингсьют-пилотов, поэтому и такое название.

Вот и сказочке анженерной работы конец, а кто слушал - молодец!

[Юра Бейс 220]

Скорость выхода, при которой высота будет набираться, легко оценить, зная свои полетные режимы. Например, вы знаете, что в трексьюте вы можете лететь с установившимися горизонтальной 160км/ч и вертикальной 120км/ч скоростями. Какова должна быть скорость самолета, чтобы вы начали набирать высоту? С помощью уравнений вингсьюта это элементарно, Ватсон. Подъемная сила равна L = W*Kl*V^2, где W - вес, Kl - "волшебный" коэффициент подъемной силы (см. вывод ур. вингсьюта), V - полная скорость. Для набора высоты она должна быть больше веса: L > W. Получаем условие для минимальной начальной скорости Vmin:

Vmin = 1/sqrt(Kl)

Т.к. Kl = Vxs/Vs^3, где Vxs - установившаяся гориз. скорость, Vs - установившаяся полная скорость,

Vmin = Vs*sqrt(sqrt(LD^2 + 1)/LD)

где LD - качество полета, LD = Vxs/Vys.

В данном случае Vs = sqrt(160^2 + 120^2) = 200км/ч, LD = 160/120 = 1.333, и Vmin = 224км/ч.

А теперь берем худосочного пилота в кинг-матрасе, пусть он может медленно и печально планировать вниз с низкой горизонтальной и вертикальной скоростями: Vxs = Vys = 60км/ч. Для него Vmin = 101км/ч. Всего-то!

[SlavikMIPT 73]

Юра Бейс, диссертацию не хочешь по уравнениям вингсьюта написать?)

[Юра Бейс 220]

SlavikMIPT, она уже давно написана

http://www.dropzone.com/cgi-bin/forum/gfor...gi?post=2563135

[Бар. Х. 0]

333, а что такое? Мне, как 100-процентному гуманитарию (недочеловеку) непонятен твой наезд на чела, про которого на dz.com написали: "Every second of time and effort involved in reading those posts is absolutely worth it." Я сам ни хрена не понимаю в этих расчетах, но, по крайней мере, не видел, чтобы кто-то их оспаривал на том же яйцеголовом уровне. То ли все остальные скудиверы - такие же гуманитарные лошары, как я, и просто не врубаются в тему, то ли расчеты Юрия - правильные.

Или нет?

[333 546]

Бар. Х. писал:

на dz.com написали: "Every second of time and effort involved in reading those posts is absolutely worth it."

Я вам открою маленький секрет: они таки тупые. У гринго издревле уровень преподавания естественных наук в средней школе таков, каким он стал сейчас у нас. Поэтому восторг среднестатического американского e.g. скудижера.

 

Бар. Х. писал:

Я сам ни хрена не понимаю в этих расчетах,

На это и расчёт, судя по всему.

 

Бар. Х. писал:

не видел, чтобы кто-то их оспаривал на том же яйцеголовом уровне.

В том-то и дело, что нет там ничего „яйцеголового“. Примитивные диффуры на уровне старших классов средней школы. Задачка для задачника чуть повышенной сложности. Любой соображающий старшеклассник нарисует вам то же самое. И, я подозреваю, наш „гений“ совершенно ясно это понимает, ибо сам в своё время был. Но то ли он злобно стебётся (а для хомячков, уверовавших в непогрешимость его построений, это может закончиться очень печально), а то ли действительно соскучился по „двадцатке“.

 

Бар. Х. писал:

То ли все остальные скудиверы … просто не врубаются в тему,

Полагаю, таких немало. И эти смехуёчки поцыэнта (Hanlon's razor) для них могут выйти боком.

 

Бар. Х. писал:

то ли расчеты Юрия - правильные.

Выкладки за исключением одного маленького (в плане влияния на конечный результат вычислений в рассматриваемых реальных условиях) обмана верны. Но только в рамках простой математической модели (позапрошлого века, ныне доступной школьникам) выбранной для описания зубодробительно сложного реального явления. Вопрос же адекватности этой модели, её отношения к реальности автор обходит молчанием. Но зато он усердно вбивает массам в моск слова „уравнения вингсьюта“, которые собственно к вингсьюту имеют такое же отношение, как правила дорожного движения к устройству и принципам работы двигателей автомобилей — участников этого движения.

Изменено 7 л пользователем 333
сцылка на двадцатку (кто бы мог подумать, что это почившее в бозе учреждение уже удостивалось упоминания)

[SlavikMIPT 73]

Выкладки за исключением одного маленького (в плане влияния на конечный результат вычислений в рассматриваемых реальных условиях) обмана верны

подъемная сила не вверх направлена?

[SlavikMIPT 73]

все бы хорошо, но почему выброшено индуктивное сопротивление крыла? вингсьют - крыло малой площади, малого удлиннения и с малой скоростью полета, а все эти параметры стоят в знаменателе индуктивного сопротивления и поэтому просто так выкинуть его нельзя - оно не меньший вклад вносит в полное лобовое сопротивление(если не больший). Не учтено так же, что плотность воздуха вообще говоря функция высоты,а не константа. Да и вообще процесс реально сложный слишком, чтобы сходу взять и запихать его в 2 дифф уравнения школьных - люди то дурачки - в трубах продувают и моделируют, уравнения носят оценочный характер чисто

[Юра Бейс 220]

Разбиение сопротивления на индуктивное и паразитное - чисто умозрительный трюк, удобный для рассмотрения полета самолета по горизонтали. Нам он совершенно не нужен, у нас диаграмма сил другая и мы не летаем по горизонтали.

Представьте, что вы съедаете торт. В одном случае вы его просто съедаете целиком, в другом вы делаете "хитрый финт" - разрезаете его на два куска и съедаете эти куски по отдельности. Результат тот же - вы съели торт. Те же яйца, только вид сбоку.

У полета самолета по горизонтали есть две особенности, которые делают такое разбиение удобным и продуктивным: подъемная сила равна силе тяжести, а угол атаки мал. Поэтому разбив сопротивление D ~ Cd*V^2 на две части: индуктивное Di ~ Ci*L^2/V^2 (где подъемная сила L - константа, равная весу W) и паразитное Dp ~ Cp*V^2, и пользуясь малостью угла атаки, получаем, что коэффициенты Ci и Cp уже от угла атаки не зависят (в отличие от Cd). А это очень удобно - эти коэффициенты можно померять при продувке, и из них легко вычислить, например, оптимальную скорость полета с наименьшим расходом топлива.

У нас все по-другому. Мы не летим по горизонтали с постоянной скоростью, так что L != W. И типичный угол атаки у нас немал: не 4-6 градусов, а 15-20 (не говоря уж о режиме быстрого старта, когда УА ~ 45). Разбиение теряет смысл - коэффициенты Ci и Cp от УА зависят, а член L^2/V^2 все равно пропорционален квадрату скорости, ведь L ~ Cl*V^2. Так что нам лучше не выпендриваться и тортик заглотить целиком: D ~ Cd*V^2 и баста. Что и сделано в уравнениях вингсьюта.

А зависимость плотности воздуха от высоты в уравнениях вингсьюта заложена в "волшебные" коэффициенты Kl и Kd, которые пропорциональны плотности. Эта поправка уже заложена в коде Wingsuit Studio.

"Уравнения вингсьюта вечны, потому что они верны." (с) В.И.Ленин

А теперь прочтите вот эту статью:

http://raffaello.name/wp-content/uploads/2...-237998-291.pdf

- и найдите в ней грубейшие ошибки, связанные как раз с разбиением сопротивления на индуктивное и паразитное. Кто первый найдет - отпишитесь здесь, будет поучительно.

Эту статью написал BFL #146, Гео Робсон. Он погиб, рассчитав полет по новой линии и будучи уверенным, что у него будет запас высоты 50-100м над седлом. Но седло он не перелетел.

Может быть, виноват плохой старт, неумелый полет. Но прочитав его статью недавно и обнаружив в ней грубейшие ошибки-заблуждения, что-то говорит мне, что эти ошибки оказались и в его расчете траектории - он просто обманулся.

[SlavikMIPT 73]

Разбиение сопротивления на индуктивное и паразитное - чисто умозрительный трюк, удобный для рассмотрения полета самолета по горизонтали. Нам он совершенно не нужен, у нас диаграмма сил другая и мы не летаем по горизонтали.

если твою картинку повернуть на угол a и разложить силу тяжести на перпендикулярную скорости и параллельную составляющую - получится ровно та же картинка самолета, только вместо тяги двигателя будет проекция силы тяжести

[Юра Бейс 220]

SlavikMIPT, опять же, это ненужное разбиение одной силы на две. Проще надо быть

[SlavikMIPT 73]

Юра Бейс, да - ты прав